left(0, frac{pi}{2}right) अंतराल में निम्नलिख | vedclass

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Question

(A, B) माना $f_{1}(x) = \cos x$. तब $f_{1}^{\prime}(x) = -\sin x$. अंतराल $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ में,$\sin x > 0$ है,इसलिए $f_{1}^{\prime}(x)

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$\cos 2x$

Vedclass · Answer

(A, B) माना $f_{1}(x) = \cos x$. तब $f_{1}^{\prime}(x) = -\sin x$. अंतराल $\left(0, \frac{\pi}{2}ight)$ में,$\sin x > 0$ है,इसलिए $f_{1}^{\prime}(x) = -\sin x अतः,$f_{1}(x) = \cos x$ अंतराल $\left(0, \frac{\pi}{2}ight)$ में निरंतर ह्रासमान है। माना $f_{2}(x) = \cos 2x$. तब $f_{2}^{\prime}(x) = -2 \sin 2x$. $0  0$. अतः,$f_{2}^{\prime}(x) = -2 \sin 2x इसलिए,$f_{2}(x) = \cos 2x$ अंतराल $\left(0, \frac{\pi}{2}ight)$ में निरंतर ह्रासमान है। माना $f_{3}(x) = \cos 3x$. तब $f_{3}^{\prime}(x) = -3 \sin 3x$. $x \in \left(0, \frac{\pi}{2}ight)$ के लिए,$3x \in (0, \frac{3\pi}{2})$ होता है। $\left(0, \frac{\pi}{3}ight)$ में,$\sin 3x > 0$ है,इसलिए $f_{3}^{\prime}(x) $\left(\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}ight)$ में,$\sin 3x  0$. अतः,$f_{3}(x)$ अंतराल $\left(0, \frac{\pi}{2}ight)$ में निरंतर ह्रासमान नहीं है। माना $f_{4}(x) = 	an x$. तब $f_{4}^{\prime}(x) = \sec^{2} x > 0$ सभी $x \in \left(0, \frac{\pi}{2}ight)$ के लिए। अतः,$f_{4}(x)$ अंतराल $\left(0, \frac{\pi}{2}ight)$ में निरंतर वर्धमान है। निष्कर्ष: $\cos x$ और $\cos 2x$ दोनों अंतराल $\left(0, \frac{\pi}{2}ight)$ में निरंतर ह्रासमान हैं।

$\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ अंतराल में निम्नलिखित में से कौन सा फलन निरंतर ह्रासमान है?

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$x$ के प्रत्येक मान के लिए फलन $f(x) = \frac{1}{5^x}$ है:

$m$ के उन मानों का पूर्ण समुच्चय ज्ञात कीजिए जिनके लिए फलन $f(x) = e^{\sin x} + 2m\sin x + 1$ सभी $x \in \left( 0, \frac{\pi}{2} \right)$ के लिए वर्धमान है।

वह अंतराल जिसमें फलन $y = |x^2 - |x| - 2|$ एकदिष्ट (monotonic) नहीं है,वह है:

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